152 views
--- title: INFO911 (4d) Filtrage morphologique type: slide slideOptions: transition: slide progress: true slideNumber: true --- # Filtrage morphologique ## (Traitement et Analyse d'Image 4d) > [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=December 2022][color=#907bf7] > (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique) ###### tags: `info911` Retour à [INFO911 (Main) Traitement et analyse d'image](https://codimd.math.cnrs.fr/s/UE_B59gMy) --- # Morphologie mathématique Une invention française: G. Matheron and J. Serra dans les années 60, pour des applications en géologie Autre approche du filtrage des images: - basé sur la théorie des treillis et la topologie - filtres **non linéaires** - morphologique car utilise un *élément structurant* - adaptés aux images binaires ou niveaux de gris - images couleur souvent par traitement séparé par canal --- # Morphologie binaire ou ensembliste ==élement structurant== une forme utilisée comme sonde dans l'image. $E$ espace euclidien ou grille régulière $A$ une image (ensemble des pixels à 1) $B$ élément structurant (ensemble de pixels à 1) $B_z$ sa translation par $z$ => Sur les exemples, l'élément structurant sera un disque --- # Erosion / Dilatation :::info **érosion de $A$ par $B$** $\qquad$$A \ominus B = \{z \in E, B_z \subset A\}$ **dilatation de $A$ par $B$** $\quad$ $A \oplus B = \cup_{z \in A} B_z$ ::: | $A \ominus B$ | $A \oplus B$ | | | ------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------ | | ![Erosion](https://codimd.math.cnrs.fr/uploads/upload_43e012349bdf24671c08b05700b9627b.png =x150) | ![Dilatation](https://codimd.math.cnrs.fr/uploads/upload_2bdd10cca38b8df8b4fb222e793b5cc9.png =x150) | $A$ bleu foncé, $B$ disque | --- # Erosion / Dilatation On peut les écrire autrement: $A \ominus B = \cap_{b\in B}A_{-b}$ $A \oplus B = \cup_{a \in A} B_a = \cup_{b \in B} A_b$ ==commutativité== de $\oplus$ --- # Exercices (érosion/dilatation par carré 3x3) ![](https://codimd.math.cnrs.fr/uploads/upload_1adb759e6f1bbd9d80d8da50af4dd1e4.png =x300) --- # Ouverture / Fermeture :::info **ouverture de $A$ par $B$** $\quad A \circ B = (A \ominus B)\oplus B$ équivalent à $\quad A \circ B = \cup_{B_z \subset A} B_z$ ::: :::info **fermeture de $A$ par $B$** $\quad A \bullet B = (A \oplus B)\ominus B$ équivalent à $\quad A \bullet B = (A^c \circ B^s)^c$ (avec complément $^c$ et symétrie $^s$) ::: --- # Ouverture / Fermeture | ouverture $A \circ B$ | fermeture $A \bullet B$ | | | ------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------- | --- | | ![Opening](https://codimd.math.cnrs.fr/uploads/upload_db85bd70b1ce075422f92c0c126384cc.png =x200) | ![Closing](https://codimd.math.cnrs.fr/uploads/upload_bb23806f17c6648a2ac3833d8ece5985.png =x200) | $A$ bleu foncé, $B$ disque | `video-morpho` --- # Exercice (ouverture/fermeture par carré 3x3) ![](https://codimd.math.cnrs.fr/uploads/upload_1adb759e6f1bbd9d80d8da50af4dd1e4.png =x300) --- # Propriétés simples (I) - $\oplus,\ominus,\circ,\bullet$ sont invariants par translation - $\oplus,\ominus,\circ,\bullet$ croissants: si $A\subseteq C$, alors $A\oplus B\subseteq C\oplus B$, et $A\ominus B\subseteq C\ominus B$, etc - la dilatation est commutative $A\oplus B=B\oplus A$ - si l'origine de $E$ appartient à $B$, alors $A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$ - la dilatation est associative: $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ - l'érosion satisfait $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$ --- # Propriétés simples (II) - érosion et dilatation ont la dualité $A\oplus B=(A^{{c}}\ominus B^{{s}})^{{c}}$ - ouverture et fermeture ont la dualité $A\bullet B=(A^{{c}}\circ B^{{s}})^{{c}}$ - la dilatation est distributive sur l'union des ensembles - l'érosion est distributive sur l'intersection des ensembles $(A \cap B) \ominus C = (A \ominus C) \cap (B \ominus C)$ - ouverture et fermeture sont idempotents $(A \circ B) \circ B = A \circ B$, $(A \bullet B) \bullet B = A \bullet B$ - ouverture anti-extensive $A\circ B\subseteq A$, fermeture extensive: $A\subseteq A\bullet B$ --- # Applications On compose les opérateurs entre eux On choisit l'élément structurant en fonction de l'application - élimination de bruits - granulométrie (e.g. sélectionner des objets circulaires) - sélection de forme (coins, angles, etc) - squelettisation --- # Morphologie niveau de gris facile ==image== $f$ fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $[-\infty,+\infty]$ ==élément structurant== $B$ ensemble de $E$ typiquement le disque de rayon $r$ :::info **érosion** $\quad f \ominus B(x) = \inf_{z \in B} f(x+z)$ **dilatation** $\quad f \oplus B(x) = \sup_{z \in B^s} f(x+z)$ ::: Les autres opérateurs sont obtenus de la même façon. --- # Morphologie niveau de gris générale ==image== $f$ fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $[-\infty,+\infty]$ ==élément structurant== $b$ fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $[-\infty,+\infty]$ typiquement le disque de rayon $r$ serait: $b(x)=0$ si $x$ à distance inférieure à $r$ de l'origine, $-\infty$ sinon :::info **dilatation** $\quad f \oplus b(x)= \sup_{y \in E} (f(y)+b(x-y))=\sup_{z \in B}(f(x+z)+b(-z))$ **érosion** $\quad f \ominus b(x)= \inf_{y \in E} (f(y)-b(y-x))=\inf_{z \in B}(f(x+z)-b(z))$ ::: coïncide avec la précédente, plus générale. `video-morpho`