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title: INFO911 (4d) Filtrage morphologique
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# Filtrage morphologique
## (Traitement et Analyse d'Image 4d)
> [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=December 2022][color=#907bf7]
> (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique)
###### tags: `info911`
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# Morphologie mathématique
Une invention française: G. Matheron and J. Serra dans les années 60, pour des applications en géologie
Autre approche du filtrage des images:
- basé sur la théorie des treillis et la topologie
- filtres **non linéaires**
- morphologique car utilise un *élément structurant*
- adaptés aux images binaires ou niveaux de gris
- images couleur souvent par traitement séparé par canal
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# Morphologie binaire ou ensembliste
==élement structurant== une forme utilisée comme sonde dans l'image.
$E$ espace euclidien ou grille régulière
$A$ une image (ensemble des pixels à 1)
$B$ élément structurant (ensemble de pixels à 1)
$B_z$ sa translation par $z$
=> Sur les exemples, l'élément structurant sera un disque
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# Erosion / Dilatation
:::info
**érosion de $A$ par $B$** $\qquad$$A \ominus B = \{z \in E, B_z \subset A\}$
**dilatation de $A$ par $B$** $\quad$ $A \oplus B = \cup_{z \in A} B_z$
:::
| $A \ominus B$ | $A \oplus B$ | |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------ |
|  |  | $A$ bleu foncé, $B$ disque |
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# Erosion / Dilatation
On peut les écrire autrement:
$A \ominus B = \cap_{b\in B}A_{-b}$
$A \oplus B = \cup_{a \in A} B_a = \cup_{b \in B} A_b$
==commutativité== de $\oplus$
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# Exercices (érosion/dilatation par carré 3x3)
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# Ouverture / Fermeture
:::info
**ouverture de $A$ par $B$** $\quad A \circ B = (A \ominus B)\oplus B$
équivalent à $\quad A \circ B = \cup_{B_z \subset A} B_z$
:::
:::info
**fermeture de $A$ par $B$** $\quad A \bullet B = (A \oplus B)\ominus B$
équivalent à $\quad A \bullet B = (A^c \circ B^s)^c$
(avec complément $^c$ et symétrie $^s$)
:::
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# Ouverture / Fermeture
| ouverture $A \circ B$ | fermeture $A \bullet B$ | |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------- | --- |
|  |  | $A$ bleu foncé, $B$ disque |
`video-morpho`
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# Exercice (ouverture/fermeture par carré 3x3)
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# Propriétés simples (I)
- $\oplus,\ominus,\circ,\bullet$ sont invariants par translation
- $\oplus,\ominus,\circ,\bullet$ croissants:
si $A\subseteq C$, alors $A\oplus B\subseteq C\oplus B$, et $A\ominus B\subseteq C\ominus B$, etc
- la dilatation est commutative $A\oplus B=B\oplus A$
- si l'origine de $E$ appartient à $B$, alors $A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$
- la dilatation est associative: $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$
- l'érosion satisfait $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$
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# Propriétés simples (II)
- érosion et dilatation ont la dualité $A\oplus B=(A^{{c}}\ominus B^{{s}})^{{c}}$
- ouverture et fermeture ont la dualité $A\bullet B=(A^{{c}}\circ B^{{s}})^{{c}}$
- la dilatation est distributive sur l'union des ensembles
- l'érosion est distributive sur l'intersection des ensembles
$(A \cap B) \ominus C = (A \ominus C) \cap (B \ominus C)$
- ouverture et fermeture sont idempotents
$(A \circ B) \circ B = A \circ B$, $(A \bullet B) \bullet B = A \bullet B$
- ouverture anti-extensive $A\circ B\subseteq A$, fermeture extensive: $A\subseteq A\bullet B$
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# Transformée Hit-or-miss
On se donne un élément structurant $I$ qui doit appartenir à la forme au point considéré, et un autre $X$ qui ne doit pas appartenir à la forme en ce même point, et $X \cap I = \emptyset$.
$$ (A \ominus I ) \cap (A^c \ominus X)$$
| Reconnaissance de motifs | couples $(I,X)$ |
| ------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------ |
| $\begin{align*}\text{Amincissement de formes}\\ \text{ou squelettisation.}\\ \text{Ex: analyse de texte, reconnaissance}\\ \text{de caractères, analyse} \\ \text{de diagrammes} \end{align*}$ |  |
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## Exemple: amincissement par hit-or-miss
|  |  | |
| -------- | -------- | -------- |
|  |  |  |
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# Applications
On compose les opérateurs entre eux
On choisit l'élément structurant en fonction de l'application
- élimination de bruits
- granulométrie (e.g. sélectionner des objets circulaires)
- sélection de forme (coins, angles, etc)
- squelettisation
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# Morphologie niveau de gris facile
==image== $f$ fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $[-\infty,+\infty]$
==élément structurant== $B$ ensemble de $E$
typiquement le disque de rayon $r$
:::info
**érosion** $\quad f \ominus B(x) = \inf_{z \in B} f(x+z)$
**dilatation** $\quad f \oplus B(x) = \sup_{z \in B^s} f(x+z)$
:::
Les autres opérateurs sont obtenus de la même façon.
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# Morphologie niveau de gris générale
==image== $f$ fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $[-\infty,+\infty]$
==élément structurant== $b$ fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $[-\infty,+\infty]$
typiquement le disque de rayon $r$ serait:
$b(x)=0$ si $x$ à distance inférieure à $r$ de l'origine, $-\infty$ sinon
:::info
**dilatation** $\quad f \oplus b(x)= \sup_{y \in E} (f(y)+b(x-y))=\sup_{z \in B}(f(x+z)+b(-z))$
**érosion** $\quad f \ominus b(x)= \inf_{y \in E} (f(y)-b(y-x))=\inf_{z \in B}(f(x+z)-b(z))$
:::
coïncide avec la précédente, plus générale.
`video-morpho`
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# Conclusion
* théorie alternative du filtrage
* non linéaire: conserve des propriétés structurelles:
* garde l'ordre des lignes de niveaux,
* ne crée pas de maxima/minima
* n'invente pas des niveaux de gris
* assez riche grâce au choix d'éléments structurants, mais un peu plus coûteuse
* images couleurs traités par canaux,
* peut inventer des couleurs !
* approche treillis de couleurs possible, mais pas mûr