# Groupe de travail sur les analytifications, tropicalisations et compactifications de variétés des caractères :::info Ce groupe de travail est lancé par Omid Amini, Gilles Courtois, Xenia Flamm, Antonin Guilloux et Vlerë Mehmeti. ::: ## Description La variété des caractères d'un groupe de type fini vers un groupe algébrique G est un objet qui intéresse les géomètres. On sait que c'est une variété algébrique, et que c'est un ensemble semi-algébrique dans le cas réel. Différentes compactifications ont été proposées avec des points de vue apparemment assez différents: - Par des procédés géométriques (cônes asymptotiques, notamment), avec de nombreux travaux; - Par le spectre réel, avec en particulier les travaux récents de Burger-Iozzi-Parreau-Pozzetti; - Par les espaces analytiques de Berkovich, comme par exemple le cas des groupes de Schottky, Poineau-Turchetti; cette direction ouvre aussi au-delà de la compactification à des espaces permettant de varier continument de représentations sur des corps archimédiens à des corps ultramétriques. D'autres compactifications d'ensembles semi-algébriques (analytification réelle, spectre o-minimal, tropicalisation, peut-être encore d'autres) sont applicables à ce cadre. Le but de se groupe de travail est de faire le point sur ces différentes approches et leurs liens profonds; et peut-être de comprendre si des fonctions naturelles peuvent être étendues continument (dimension de Hausdorff, notions de volume, etc). Nous commencerons par une série de séances introductives sur les objets de notre groupe de travail (variétés des caractères, espaces symétriques et immeubles de Bruhat-Tits, espaces de Berkovich, spectre réel, variétés tropicales, analytification réelle...). ## Programme - **Mardi 16 janvier 2024 à 15h30** (salle 15-16 413, à Jussieu): Première séance, présentation, organisation Les premières séances sont conçues comme des séances introductives sur chacun des sujets, avec l'objectif d'être compréhensibles sans connaissance préalable. Ce qui suit est un premier brouillon et sera adapté au fur et à mesure du déroulement: - **Première séance: Mardi 6 février 2024 à 15h15 (salle 15-16-309, à Jussieu)**: Variétés de caractères comme espaces (semi-)algébriques (Arnaud Maret, Antonin Guilloux). [Lien pour l'enregistrement vidéo de l'exposé d'Arnaud](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/woX2NEjJAr9NT7H); [lien pour l'exposé d'Antonin](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/dffjCWQgi5MRzwz) - **Deuxième séance: Mardi 5 mars 2024 à 15h15 (salle 15-16-309, à Jussieu)**: Arbre de Bruhat-Tits sur un corps valué, cône asymptotique d’une suite de représentations divergentes dans SL(2) (Gilles Courtois, Nicolas Tholozan). [Lien vers l'enregistrement de l'exposé de Nicolas.](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/i8BJjckfnB5aTPx) Désolé pour l'exposé de Gilles, j'ai oublié de l'enregistrer. - **Troisième séance: Mardi 19 mars 2024 à 15h15 (salle 16-26-113, à Jussieu)**: le cône asymptotique est l’arbre de Bruhat-Tits du corps de Robinson, survol du rang supérieur. Nicolas Tholozan [lien vers la vidéo](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/f2JiJ6XnJBPt7nc), Anne Parreau, [lien vers la vidéo (le son manque sur les premières minutes)](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/LbcxXEXkRTyKMTX). - **Quatrième séance : Mardi 2 avril 2024 à 15h15 (salle 16-26-113, à Jussieu)** Compactification par le spectre réel, revue des résultats de BIPP (Samuel Bronstein, Joaquin Lejtreger). Voici les liens vers les vidéos des exposés de [Joaquin Lejtreger](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/nbCNpKGrJsKQmnA) et [Samuel Bronstein](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/DiDfkxrx42gfGa6). - **Cinquième séance : Mardi 30 avril 2024 à 15h15 (salle 16-26-113, à Jussieu)**: Espaces analytiques de Berkovich, Groupes de Schottky (Mattias Ferreira-Filoramo, Xenia Flamm). [Lien vers les exposés de Mattias et Xenia](https://dropsu.sorbonne-universite.fr/s/DTrPHaRyczziFgK) - **Sixième séance : Mardi 7 mai 2024 à 15h15 (salle 16-26-113, à Jussieu)**: Espace de module des groupes de Schottky, suivant Poineau-Turchetti ; Description des points ajoutés dans les compactifications de variété de caractères (Vlerë Mehmeti, Antonin Guilloux). [Lien zoom](https://cnrs.zoom.us/j/93144591240?pwd=QndhK3YxQlRzZHU2czFVdHZGM1ZKdz09). - **Septième séance: Mardi 28 mai 2024 à 15h15 (salle 16-26-113)** : Lien entre l'arbre de Bruhat-Tits et l'arbre de Berkovich ; Lien entre spectre réel et analytification, suivant JSY (Antoine Ducros, Victor Jaeck). [Lien zoom](https://cnrs.zoom.us/j/97629595154?pwd=L0VWRmZpOFpUVUJ6RFozQTVxZ3gzQT09) - ~~**Huitième séance: Mardi 4 juin 2024 à 15h15 (salle 16-26-113)**~~ : Compactification hybride/o-minimale, cas des variétés de caractères (Omid Amini, Mirko Mauri) : **Annulée** - **Ensuite (l'an prochain ?)**: compactification hybride/o-minimale, tropicalisation (JSY), discussion de la possibilité de construire des fonctions continues sur ces différentes compactifications comme par exemple la dimension de Hausdorff de l'ensemble limite (Dang-Mehmeti), ou l'utilisation de courants géodésiques à la BIPP et Martone-Zhang. ### Bibliographie Dans le désordre, pour l'instant: - Sur les variétés de caractères commes espaces algébriques, voir chapitre 3 dans les [notes](https://arnaudmaret.com/files/character-varieties.pdf) de Maret (plus les références là-dedans); comme espace semi-algébriques, voir chapitre 7.2 dans [BIPP](https://arxiv.org/pdf/2311.01892.pdf) ou chapitre 3.2 dans [la thèse de Flamm](https://www.ihes.fr/~/flamm/phdthesis_23_10_18.pdf), les travaux de Richardson-Slodowy [ici](https://academic.oup.com/jlms/article/s2-42/3/409/869084) - Sur le lien cônes asymptotiques - espaces de valuations de Riemann-Zariski, il y a ce [papier d'Otal](https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-11029-5) dans Berkovich spaces and Applications (qui reprend et prolonge le travail de Morgan et Shalen). - Sur les analytifications d'espaces de modules, voir [Poineau-Turchetti](https://arxiv.org/abs/2010.09043v1). - Sur les compactifications par spectre réel des variétés de caractère, voir le [Compte Rendu](https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.123/) de Burger-Iozzi-Pozzetti-Parreau (BIPP, dans la suite!) et la référence incluse au [papier complet](https://arxiv.org/abs/2311.01892); pour l'espace de Teichmüller voir l'article [The real spectrum compactification of Teichmüller space](https://www.ams.org/books/conm/074/) de Brumfiel - Sur les liens entre compactification par le spectre réel et analytification pour les ensembles semi-analytiques, voir [Jell-Scheiderer-Yu](https://arxiv.org/abs/1810.05132v2) (JSY, dans la suite!) - sur les compactifications hybrides/o-minimales, ??? - Un exemple d'application de la compactification par analytification: [Dang-Mehmeti](https://arxiv.org/abs/2401.06107)