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title: VISI601_CMI (7f) Intégration numérique
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# Intégration numérique
> [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=January 2022][color=#907bf7]
> (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique)
###### tags: `visi601`
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## Approximation d'une intégrale
On souhaite approcher $I(f):=\int_a^b f(x)dx$
On construit des fonctions $f_n(x)$, de + en + proches de $f$ et faciles à intégrer
$I_n(f):=\int_a^b f_n(x)dx$
L'*erreur de quadrature* ou *erreur d'intégration* est $E_n(f)=I(f)-I_n(f)$
:::info
$|E_n(f)| \le \int_a^b |f(x)-f_n(x)|dx \le (b-a) \| f - f_n \|_\infty$
:::
:::warning
* typiquement on approche par des polynômes, Lagrange si interpolation
* quand on utilise les dérivées, polynômes de Hermite
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## Quadratures interpolatoires ou de Lagrange
Soit $(x_i)$ $n+1$ points sur $[a,b]$
**Bases de Lagrange** $\quad l_0^0(x)=1$, $\quad l_i^n(x) = \Pi_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}, \quad i=0,\ldots,n$
| $(\color{blue}{l_i^1(x)})_{i=0,1}, \color{red}{\sum l_i^1(x)}$ | $(\color{blue}{l_i^2(x)})_{i=0,1,2}, \color{red}{\sum l_i^2(x)}$ | $(\color{blue}{l_i^3(x)})_{i=0,1,2,3}, \color{red}{\sum l_i^3(x)}$ |
| -------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------- |
|  |  |  |
Ici on prend les points régulièrement espacés
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## Quadratures interpolatoires ou de Lagrange
**Polynômes interpolatoires de Lagrange** pour tout $n$: $L_f^n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) l_i^n(x)$
:::success
C'est l'unique polynôme de degré $n$ passant par les points $(x_i, f(x_i))$
:::
| $L_f^1(x)=\sum_{i=0}^1 f\left(\frac{i}{1}\right)l_i^1(x)$ | $L_f^2(x)=\sum_{i=0}^2 f\left(\frac{i}{2}\right)l_i^2(x)$ | $L_f^3(x)=\sum_{i=0}^3 f\left(\frac{i}{3}\right)l_i^3(x)$ |
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| |  |  |
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## Formule du rectangle (ou point milieu)
:::info
**(Rectangle)** 1 point ($(a+b)/2$) et $L_f^0$ : $I_0(f)=(b-a)f(\frac{a+b}{2})$
:::
On vérifie que $\int_a^b f(\frac{a+b}{2}) l_0^0(x) dx = f(\frac{a+b}{2}) \int_a^b 1 dx = I_0(f)$
:::success
Si $f$ est $C^2$, $\exists \xi \in [a,b], E_0(f)=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$.
:::
Si on découpe en $m$ intervalles, en prenant $(x_i)_{i=1..m}$ aux milieux
:::success
Avec $h=\frac{b-a}{m}$, $I_{0,m}(f)=h\sum_{k=1}^m f(x_k)$, et erreur $E_{0,m}=(b-a)\frac{f''(\xi)}{24}h^2$
:::
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## Formule du trapèze (ou point milieu)
:::info
**(Trapèze)** 2 points ($a$ et $b$) et $L_f^1$ : $I_1(f)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$
:::
$\int_a^b f(a) l_0^1(x)+f(b)l_1^1(x) dx = f(a) \int_a^b \frac{x-b}{a-b} dx + f(b) \int_a^b \frac{x-a}{b-a} dx = I_1(f)$
:::success
Si $f$ est $C^2$, $\exists \xi \in [a,b], E_0(f)=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$.
:::
Si on découpe en $m$ intervalles, $x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h, \ldots, x_m=b$
:::success
$I_{1,m}(f)=h\left(\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})+\frac{f(x_m)}{2}\right)$, et erreur $E_{1,m}=-(b-a)\frac{f''(\xi)}{12}h^2$
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## Formule de Cavalieri-Simpson
:::info
**même principe** on prend 3 points ($a$, $(a+b)/2$ et $b$) et $L_f^2$
$I_2(f)=\frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)\right)$
On peut placer $2m+1$ points dans l'intervalle
$I_{2,m}(f)=\frac{b-a}{6m}\left(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{m-1}f(x_{2k}) + +4\sum_{k=1}^{m-1}f(x_{2k+1}) + f(x_{2m}) \right)$
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* **rectangle** plus précis que **trapèze** avec degré inférieur (erreur $O(h^2)$)
* **Cavalieri-Simpson** erreur $O(h^4)$ mais nécessite plus de points
* Si on monte encore le degré, formules de Newton-Cootes
* formules similaires pour intégrales multiples