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--- title: VISI601_CMI Estimation locale de dérivées partielles type: slide slideOptions: transition: slide progress: true slideNumber: true --- # Estimation locale de dérivées partielles > [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=January 2022][color=#907bf7] > (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique) ###### tags: `visi601` Retour à [VISI601_CMI (Main) Algorithmique numérique](https://codimd.math.cnrs.fr/s/IWTaBkA9m) --- ## Calcul sur une maille quadrangulaire Soit $[a,b]^2$ un domaine carré, discrétisé avec $(n+1)^2$ points $(x_{i,j},y_{i,j})_{i,j=0,\ldots,n}$: Ils sont espacés régulièrement de $h=\frac{b-a}{n}$. Soit $f$ une fonction, connue sur ces points: $f_{i,j} := f(x_{i,j},y_{i,j})$ On veut estimer $u_{i,j} := \frac{\partial f}{\partial x}(x_{i,j},y_{i,j})$ et $v_{i,j} := \frac{\partial f}{\partial y}(x_{i,j},y_{i,j})$ à partir de ces seuls $(f_{i,j})$. :::info **différences finies "forward"**, $0 \le i,j < n$, $u^{FD}_{i,j}:=\frac{f_{i+1,j} \, - \, f_{i,j}}{h}$, $v^{FD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j+1} \, - \, f_{i,j}}{h}$ **différences finies "backward"**, $0 < i,j \le n$, $u^{BD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j} \, - \, f_{i-1,j}}{h}$, $v^{BD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j} \, - \, f_{i,j-1}}{h}$ **différences finies centrées**, $0 < i,j < n$, $u^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i+1,j} \, - \, f_{i-1,j}}{2h}$, $v^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j+1} \, - \, f_{i,j-1}}{2h}$ ::: --- ## Comment estimer les dérivées partielles ? Les fonctions de plusieurs variables peuvent être découpées selon chaque variable $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad g_b(x) := f(x,b), \quad h_a(y) := f(a,y)$ :::info $$ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)= g'_{b}(a), \, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)= h'_{a}(b), \, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)= g''_{b}(a), \, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)= h''_{a}(b). $$ ::: On peut donc utiliser les mêmes formules de différences finies qu'en 1D. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_{i,j},y_{i,j}) = g'_{y_{i,j}}(x_{i,j}) = \frac{1}{h} \underbrace{\left( g_{y_{i,j}}(x_{i+1,j}) - g_{y_{i,j}}(x_{i,j}) \right)}_{f_{i+1,j}\, - \, f_{i,j}} + O(h)\quad$ (DF "forward") Autres formules montrées identiquement --- ## Qualité d'estimation des dérivées partielles :::success **différences finies "forward"**, $u^{FD}_{i,j}:=\frac{f_{i+1,j} \, - \, f_{i,j}}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h), \quad v^{FD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j+1} \, - \, f_{i,j}}{h}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h)$ ::: :::success **différences finies "backward"**, $u^{BD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j} \, - \, f_{i-1,j}}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h), \quad v^{BD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j} \, - \, f_{i,j-1}}{h}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h)$ ::: :::success **différences finies centrées**, $u^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i+1,j} \, - \, f_{i-1,j}}{2h}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h^2), \quad v^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j+1} \, - \, f_{i,j-1}}{2h}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h^2)$ ::: --- ## Dérivées partielles secondes et Laplacien Là encore, mêmes techniques pour estimation + qualité d'estimation. :::success $w^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i+1,j} \, - \, 2 f_{i,j} + \, f_{i-1,j}}{h^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h^2)$, $z^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j+1} \, - \, 2 f_{i,j} + \, f_{i,j-1}}{h^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h^2)$, $l^{CD}_{i,j}:=\frac{f_{i,j+1} \, + \, f_{i,j-1} \, + \, f_{i+1,j} \, + \, f_{i-1,j} \, - \, 4 f_{i,j}}{h^2} =\underbrace{\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)}_{\Delta f}(x_{i,j},y_{i,j}) +O(h^2)$. ::: On peut donc estimer précisément le **Laplacien** avec 5 valeurs NB: Attention aux définitions sur les bords.