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title: VISI601_CMI Diagonalisation, matrices symétriques définies positives
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# Diagonalisation, matrices symétriques définies positives
> [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=January 2022][color=#907bf7]
> (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique)
###### tags: `visi601`
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## Matrice diagonalisable
:::info
Une matrice carrée $A$ à coefficients dans un corps $K$ est dite **diagonalisable** sur $K$ s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ à coef. dans $K$ t.q.
$$
A=PDP^{-1}
$$
:::
==Exemple== $A=\begin{bmatrix}3/4 & 5/4 \\ 5/4 & 3/4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1/2&-1/2\\1/2&1/2\end{bmatrix}$
Dans ce cas, chaque vecteur colonne $\mathbf{v}$ de la matrice $P$ est un vecteur propre pour la matrice $A$, i.e. il existe un scalaire $\lambda$ sur la diagonale de $D$ tel que $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$.
==Exemple== $A \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/2\\1/2\end{bmatrix}=-1/2 \cdot \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}, \quad A \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}=2 \cdot\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$
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## Matrice symétrique réelle
:::success
Toute matrice **réelle symétrique** est diagonalisable dans une base orthogonale $U$:
$A=U D U^T$, avec $U^T=U^{-1}$
:::
Les matrices orthogonales forment une base orthonormée.
Les colonne $u_i$ de $U$ sont des vecteurs propres de $A$, de valeur propre $d_i$
==Exemple== $A=\begin{bmatrix}3/4 & 5/4 \\ 5/4 & 3/4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt{2}/2&-\sqrt{2}/2\\\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\end{bmatrix}$
On reconnait ici une rotation d'angle $\pi/4$ pour U.
> $A$ fait donc 3 choses: (1) se met dans la bonne base, (2) étire/contracte ou inverse selon les axes, (3) revient dans la base initiale
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## Matrice symétrique réelle : interprétation géométrique
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| -------- | -------- |
| $\mathbf{x_1},\ldots,\mathbf{x_n}$ | $A\mathbf{x_1},\ldots,A\mathbf{x_n}$ |
==Exemple== $A=\begin{bmatrix}3/4 & 5/4 \\ 5/4 & 3/4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt{2}/2&-\sqrt{2}/2\\\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\end{bmatrix}$
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## Matrice réelle définie positive
:::info
Une matrice carrée réelle $A$ est **définie positive** ssi
$\forall \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$
:::
La fonction $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ est une forme quadratique.
Très souvent, on s'intéresse aux matrices **symétriques** définies positives,
ou matrices **SDP**
On voit facilement: $A$ SDP, donc diagonalisable avec $A=UDU^T$ et
les coefficients (diagonaux) de $D$ sont tous positifs.
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## Lien forme quadratique et transformation linéaire
> (la matrice de gauche est juste positive)
$A$ définie positive $\Leftrightarrow$ La fonction $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ a un seul minimum (en $\mathbf{0}$)
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## Propriétés matrices SDP
Si $A$ symétrique, il y a équivalences entre:
1. $A$ Matrice SDP, i.e. $\forall \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$
2. Les valeurs propres de $A$ sont réelles et strictement positives
3. La forme bilinéaire $(\mathbf{x},\mathbf{y}) \mapsto \mathbf{x}^T A \mathbf{y}$ est un produit scalaire
4. Il existe une matrice carrée réelle $N$ telle que $A=N^T N$
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## Matrices SDP et transformation linéaire
SDP = dilatation/contraction, pas SDP = inversion d'axe, dilatation "complexe"
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## Intérêt des matrices SDP
- Les problèmes de résolution de systèmes linéaires les plus faciles à traiter numériquement sont ceux dont les matrices sont SDP
- on dispose d'algorithmes numériquement stables et rapides pour l'inversion et la diagonalisation des matrices SDP
- de nombreux problèmes d'optimisation se réduisent à une forme quadratique SDP plus un terme linéaire, e.g. moindres carrés
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## Exercices
1. Toute matrice SDP $A$ est non dégénérée, i.e. $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ implique $\mathbf{x}=\mathbf{0}$.
2. Si $A$ est non dégénérée alors $B=A^T A$ est SDP
3. Si $A$ est non dégénérée alors $A^{-1}=(A^T A)^{-1}A^T$
On voit donc que savoir inverser une matrice SDP permet d'inverser une matrice inversible quelconque.