# Adhérence de ]a,b[ Pour comprendre les mathématiques, il faut avoir une intuition de la façon dont les objets se comportent. Pour cela, j’ai réalisé ce petit graphique sur Desmos afin que vous puissiez interagir avec lui et mieux comprendre la preuve de **l’adhérence de ]a,b[** que nous avons faite aujourd’hui. --- Le petit jeu est le suivant : allez sur https://www.desmos.com/calculator/ykag5jc8di. Vous verrez l’intervalle $]a,b[$ tracé en bleu. Vous pouvez déplacer les points $a$ et $b$ où vous voulez, mais il faut s’assurer que $a < b$. Si vous essayez de déplacer $a$ au-delà de $b$, vous allez en fait déplacer $b$ aussi (essayez ! mais remettez-les ensuite pour que nous ayons un joli intervalle $]a,b[$). <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1OWF0ahk4av-uFnCW73Qhd70aSPYL33-D/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> --- À côté de $]a,b[$, il y a un autre intervalle $]x − \delta, x + \delta[$ en rouge. Cet intervalle s’appelle une **voisinage de x**. Vous pouvez déplacer $x$ comme vous le souhaitez, et vous pouvez aussi déplacer son bord, ce qui augmente ou diminue la valeur de $δ$. <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1IHIgtsY_s2Rad-_1WzeAUkXu6BdhPnYN/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> --- Essayons maintenant d’identifier quelle est l’adhérence de $]a,b[$. Pour cela, prenez un $x$ sur la droite réelle et vérifions si, pour tout $δ$, les deux ensembles s’intersectent ou non. – Par exemple, si $x$ est dans l’intervalle bleu, alors il y aura toujours une intersection, que $δ$ soit très grand ou très petit. <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1swMmtmTkiHh5GNZ4NuwbjrhiaTjIBuy0/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> Ainsi, tous ces $x$ de l’intervalle bleu sont dans l’adhérence de $]a,b[$. --- – Si $x$ est exactement égal à $a$ ($x = a$), remarquez que, là aussi, pour tout $δ$, quelle que soit sa taille, les deux ensembles s’intersectent. <iframe src="https://drive.google.com/file/d/14a4BhTS2gsz45bivFOR3fEM9XjW9ZdDl/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> Donc a appartient à l’adhérence de $]a,b[$. --- – Mais si $x$ est à gauche de $a$ ($x < a$), l’histoire change. S’il est loin, il existera un $δ$ pour lequel il n’y a pas d’intersection : <iframe src="https://drive.google.com/file/d/19zmwRqhz395KKwXgCtzWj3y_kWK7bFsB/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> Cela indique que ce $x$ n’est pas dans l’adhérence, car pour qu’un point y soit, il faut qu’il y ait intersection pour tout $δ$. Si on est très proche de $a$, on peut penser qu’il y a toujours intersection pour tout $δ$ : <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1icvlvMVNX37Q3HNbODEbqDHGXzScNkBs/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> Mais en réalité, si on fait un zoom… <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1b8AmabNQqTA_XT0GpKNCyJUTO8xtoe-c/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> …on voit bien qu’on peut diminuer $δ$ jusqu’à ce que l’ensemble rouge n’intersecte plus l’ensemble bleu. C’est ce petit « espace » entre $x$ et $a$ dont je parle souvent en cours. Le fait que $x$ soit strictement plus petit que $a$ ($x < a$) crée un espace entre les deux, même s’il est microscopique. Cet espace n’existerait pas si $x = a$, et c’est pour cela que nous avons vu plus haut que $a$ est dans l’adhérence de $]a,b[$ : l’espace n’existe pas et il y a toujours intersection entre les ensembles. --- – Travaillons maintenant avec l’extrémité $b$ de l’intervalle. Si $x = b$, c’est la même chose que pour $x = a$ : pour tout $\delta$, quelle que soit sa taille, l’ensemble rouge intersecte l’ensemble bleu. <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1fe-xE7Me5osjklAYoMHWYcpukrM9NTTI/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> Donc $b$ est dans l’adhérence de $]a,b[$. --- – Cependant, si $x$ est à droite de $b$ ($x > b$), même s’il est très proche, on peut toujours zoomer et trouver un $\delta$ pour lequel les deux ensembles ne s’intersectent jamais. <iframe src="https://drive.google.com/file/d/1zfUGsnDNyKTWY4yT4euKAzuGm0ZR3VvA/preview" width="720" height="300" allow="autoplay"></iframe> Ces $x$ ne sont donc pas dans l’adhérence. --- Voilà le jeu : - Pour chaque $x$ de la droite réelle, testons tous les $\delta > 0$ et voyons s’il y a intersection ou non avec $]a,b[$. - S’il y a toujours intersection (comme pour $x = a$, $x = b$ ou $x \in ]a,b[$), alors $x$ est dans l’adhérence de $]a,b[$, et on dit que ce point est un point adhérent à $]a,b[$. - S’il existe au moins un $\delta$ pour lequel il n’y a pas d’intersection (comme pour $x < a$ ou $x > b$), alors ce $x$ n’est pas dans l’adhérence de $]a,b[$. Avec les animations ci-dessus, on voit que les seuls points appartenant à l’adhérence sont $a$, $b$ et les points de $]a,b[$. L’union de tout cela c'est l’intervalle $[a,b]$. Tout autre point de $\mathbb{R}$ n’est pas dans l’adhérence, et c’est pour cette raison que l’adhérence de $]a,b[$ est l’ensemble $[a,b]$.