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title: INFO911 (5f) Segmentation - approches hiérarchiques
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# Segmentation d'image - approches hiérarchiques
## (Traitement et Analyse d'Image 5f)
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> [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=Decembre 2020][color=#907bf7] Laboratoire de Mathématiques, Université Savoie Mont Blanc
> (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique)
###### tags: `info911`
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# Approches hiérarchiques
:::warning
Les images n'ont pas le même sens suivant l'échelle à laquelle on les regarde.
Il n'y a pas une segmentation idéale, mais plusieurs segmentations idéales
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## principes généraux d'une décomposition hiérarchique
==partition== ensemble de régions $(R_i)$, disjointes 2 à 2, telles que $\cup \bar{R_i} = \Omega$ domaine
==hiérarchie== ensemble de partitions $(P_\lambda)$, $\lambda$ de 0 (fin) à $\infty$ (grossier)
==causalité== les contours entre régions ont une cause à une échelle plus fine
$\lambda_2 \ge \lambda_1$ alors $\delta P_{\lambda_2} \subseteq \delta P_{\lambda_1}$
(où $\delta P$ désigne les bords des régions composant la partition)
$P_0$ est la partition la plus fine de l'image (chaque pixel est une région)
$P_\infty$ est la partition la plus grossière de l'image (une seule région)
Maximum $NM-1$ étages distincts si on fusionne 2 régions en une à chaque étage
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## Analyse en ensemble-échelle (scale-sets)
Chaque région $x$ possible apparaît à $\lambda^+(x)$ et disparait à $\lambda^-(x)$
==Energie d'une partition==: somme des énergies de ses régions
$E(P)=\sum_{R \in P} E(R)$
==Energie d'une région==: somme de termes homogénéité $D$ et hétérogénéité $C$
$E(R)=D(R)+\lambda C(R)$
avec $C$ **décroissante**, i.e. $R_1 \subseteq R_2$ implique $C(R_1) \le C(R_2)$
:::info
Par exemple $D(R)=\mathrm{Var}(\{I(p), p \in R\})$
et $C(R)=\mathrm{Perimètre}(R)$.
On vérifie que $\mathrm{Perimètre}(R_1 \cup R_2) \le \mathrm{Perimètre}(R_1)+\mathrm{Perimètre}(R_2)$
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## Fusion des régions
==Fusion== de deux régions adjacentes $R_1$ et $R_2$
lorsque $E(R_1 \cup R_2) \le E(R_1)+E(R_2)$
Intuitivement si $\lambda$ petit, alors homogonéité $D$ domine => bcp de petites régions
Si $\lambda$ augmente, alors $\lambda( C(R_1) + C(R_2) )$ augmente et dépasse $\lambda C(R_1 \cup R_2)$
(car $C$ décroissante)
==algorithme== On part de $P_0$
on trouve le premier $\lambda_1$ qui fait fusionner 2 régions $R$ et $R'$ en $R''$
la partition $P_{\lambda_1}$ est $(P_0 \setminus \{R,R'\}) \cup R''$
On itère le processus jusqu'à $P_\infty$
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## Scale-sets algorithm [Guigues et al. 2006]
