# Normes vectorielles et matricielles > [name=Jacques-Olivier Lachaud][time=January 2022][color=#907bf7] > (Les images peuvent être soumises à des droits d'auteur. Elles sont utilisées ici exclusivement dans un but pédagogique) ###### tags: `visi601` Retour à [VISI601_CMI (Main) Algorithmique numérique](https://codimd.math.cnrs.fr/s/IWTaBkA9m) --- ## Normes Soit $K$ un corps (ici $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), et $E$ un $K$ espace vectoriel (ici $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{C}^n$, ou les matrices réelles) On appelle **norme** sur $E$ une application $N: E \rightarrow \mathbb{R}^+$ t.q.: * *(séparation)* $\forall x \in E, N(x)=0 \Rightarrow x=0_E$ ; * *(homogénéité)* $\forall \lambda \in K, x \in E, N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$ ; * *(sous-additivité ou inégalité triangulaire)* $\forall x \in E,y \in E, N(x+y) \le N(x)+N(y)$ On appelle *boule unité* l'ensemble des points $x$ de norme $N(x)=1$. --- ## Normes vectorielles Les 3 normes les plus fréquentes sur les vecteurs de $\mathbb{R}^n$ sont: * la **2-norme** ou **norme Euclidienne**, notée $\| \cdot \|_2$ $\forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \| \mathbf{x} \|_2 = \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ sa boule unité est la sphère de rayon 1 en toute dimension * la **$\infty$-norme**, notée $\| \cdot \|_\infty$ $\forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \| \mathbf{x} \|_\infty = \max_{i=1,\ldots,n} |x_i|$ sa boule unité est l'hyper-cube de côté 2. * la **1-norme**, notée $\| \cdot \|_1$ $\forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \| \mathbf{x} \|_1 = \left( |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| \right)$ sa boule unité est l'(hyper)-octaèdre de rayon 1 en toute dimension :::success Toutes ces normes sont équivalentes à constante près. ::: --- ## Normes matricielles Soit $\| \cdot \|_*$ une norme vectorielle quelconque, on peut définir une norme matricielle associée ainsi, si $A$ est une matrice : $$ \|A\|_* := \sup_{\mathbf{x} \neq \mathbf{0}} \frac{\|A \mathbf{x}\|_*}{\|\mathbf{x}\|_*}, \quad \text{ou (équivalent)} \quad \|A\|_* := \sup_{\mathbf{x}, \|\mathbf{x}\|_*=1} \|A \mathbf{x}\|_* $$ On l'appelle **norme matricielle subordonnée à $\|\cdot\|_*$** * **1-norme** = norme **somme des colonnes** $\|A\|_1 = \max_{j=1,\ldots,n} \sum_{i=1}^m |a_{ij}|$ * **$\infty$-norme** = norme **somme des lignes** $\|A\|_\infty = \max_{i=1,\ldots,m} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$ * **2-norme** ou **norme spectrale** $\|A\|_2=\sqrt{\rho(A^T A)}$ (racine rayon spectral de $A^TA$) * **norme de Fröbenius** $\|A\|_F=\left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ --- ## Propriétés élémentaires Soit $A$ et $B$ deux matrices et $\|\cdot\|$ une des normes précédentes: $\|A\|=0$ si et seulement si $A$ est la matrice nulle $\|\lambda A\|=|\lambda|\|A\|$ $\|A+B\| \le \|A\|+\|B\|$ $\|AB\| \le \|A\|\|B\|$ (norme sous-multiplicative) $\forall \mathbf{x}, \|A \mathbf{x}\| \le \|A\|\|\mathbf{x}\|$ On montre facilement: $\| I \| \ge 1$, $\quad\|A^n\| \le \|A\|^n (n>0)$, $\quad 1 \le \|A\|\|A^{-1}\|$ $\| A \| < 1$ alors $I-A$ est inversible. --- ## Exercices * Calculer les 1-, 2- et $\infty$-normes de $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1& 3& -1 \end{bmatrix}^T$ :::spoiler $\|\mathbf{v}\|_1=5, \|\mathbf{v}\|_2=\sqrt{11}, \|\mathbf{v}\|_\infty=3$ ::: * Calculer $\|A\|_1, \|A\|_\infty, \|A\|_F$ de $A=\scriptsize\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ :::spoiler $\|A\|_1=3, \|A\|_F=\sqrt{6}, \|A\|_\infty=3$ ::: --- ## Exercices * Soit $P=\scriptsize\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \, \sqrt{3} & 0 \\ \frac{1}{2} \, \sqrt{3} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$, $D=\mathrm{diag}(5,1,4)$ et $A=PDP^T$. Trouvez $\|A\|_2$ :::spoiler $A$ est sous forme diagonalisée, donc $D$ est ses valeurs propres. $\rho(AA^T)=\rho(PDP^TPDP^T)=\rho(PD^2P^T)=\rho(D^2)$. Or $\|A\|_2=\sqrt{\rho(AA^T)}=\sqrt{\rho(D^2)}=\sqrt{25}=5$ car $\rho$ correspond à la plus grande valeur sur la diagonale. :::